Юнус-бек Евкуров родился 29 июля 1963 года в селе Тарское (ингуш. Ангушт, юг Пригородного района ) в многодетной ингушской семье: у него шесть братьев и пять сестер. Рос в городе Малгобек. Школу окончил в Беслане.
С 1982 года по 1984 год проходил срочную службу в морской пехоте Тихоокеанского флота.
По окончании службы был рекомендован для сдачи экзаменов в Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище. Евкуров поступил в командное училище. Окончил его в 1989 году.
В 1997 году окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе.
Служил на командных должностях в ВДВ. Принимал участие в контртеррористических операциях на Северном Кавказе. В частности, отряд подполковника Евкурова, выполняя одно из заданий по разведке местности, обнаружил и вызволил из чеченского плена 12 российских военнослужащих, причём начальник штаба 217-го гвардейского парашютно-десантного полка 98-й гвардейской Свирской Краснознамённой ордена Кутузова 2-степени воздушно-десантной дивизии лично принимал участие в этой боевой операции.
В июне 1999 года Евкуров находился в сербо-боснийском городе Углевик (серб. Угљевик) в составе российского контингента в Боснии и Герцеговине под эгидой SFOR.
В ходе интервью с Президентом Республики Ингушетия Юнус-бек Евкуровым (на момент освещаемых событий майор) стало известно, что начиная с конца мая 1999 года группа в составе 18 бойцов ГРУ тайно проникла на территорию аэропорта Слатина и фактически контролировала его до подхода десантного батальона. Все обстоятельства данной операции до сих пор засекречены .
13 апреля 2000 года Юнус-беку Евкурову присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда». По словам Евкурова — за бросок на Приштину российских десантников.
В 2004 году окончил Академию Генерального штаба.
С 2004 года — гвардии полковник, заместитель начальника разведывательного управления Приволжско-Уральского военного округа (Екатеринбург).